无处不在的随机现象

时间:2016-09-24 20:03来源:未知 作者:教务处 点击:
爱因斯坦有句备受争议的名言:上帝不掷骰子.原话写在爱因斯坦1944年7月给波恩的一封信中:“在我们的科学期望中,我们已成为对立的两极.你相信掷骰子的上帝,我却信仰客观存在的世界中的完备定律和秩序.”意思就是说大自然早就确定了这个世界运转的所有规则.但无论上帝掷不掷骰子,他有时至少表现得确实象在掷骰子,因为我们现实生活中确实存在许多事先无法预知结果的现象.如在抛掷一枚硬币前,我们无法确定是出现正面还是反面;某时间间隔内公共汽车站可能出现的等车的人数等.这些都称为随机现象.简单来讲, 随机现象就是在同样条件下,多次进行同一试验或调查同一现象,所得结果不完全一样,而且无法准确地预测下一次所得结果的现象.随机现象这种结果的不确定性,是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的.而这些次要条件和偶然因素又是人们无法事先能够掌握的.正因为这样,我们在这一类现象中,就无法用必然性的因果关系,对个别现象的结果事先做出确定的答案.但在一个比较大的范围内人们却觉察到有某些规律性.比如,连续多次抛掷一枚硬币,出现正面与出现反面的次数随着抛掷次数的增加逐渐趋于各占投掷总次数的一半.
 
一、    赌博、保险、彩票问题
 
(一)有关赌博问题
赌,社会一大毒瘤,我们要利用所学的概率知识来揭示赌博的欺诈性,帮助更多的人们认清赌博的罪恶本质.
例1  一公园门口发现一街头赌摊,一摆地摊的赌主,他拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里.他规定,凡自愿摸彩者,需要交1元手续费,然后一次从袋中摸出5个棋子,摸到5个白子的奖20元,摸到4个白子的奖2元,摸到3个白子的奖价值5角的纪念品,摸到其他的无奖.由于本钱小,许多围观者跃跃欲试,许多人“乘兴而摸, 败兴而归”,获奖者没有几个,为什么?
 16个棋子中摸5个有种,摸出5个全为白子有种,得20元钱的概率,摸出5个中有4个白子有种,得2元钱 的概率,摸出5个中有3个白子有种,得纪念品概率,每天有1000人摸子,赌主支付彩金是:约有 13人获20元,128人获2元,359人获纪念品,共计695.5元,手续费1000元,故摊主赚300多元.
  由上述一系列数据可以看出,得奖者很少,最大受益人还是摊主.希望更多的人能够看清赌博的本质.
(二)有关保险问题
目前,由于生活水平的逐步提高,人们越来越重视自身与家人的安全问题,财产安全,养老问题等;其中有些人可能会疑惑,是保险公司收益还是投保人收益,谁才是最大的受益者?
抽样调查,保险中经常会遇到要计算概率的时候,例如在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险,在一年内死亡的概率为0.002,每个人一年需付12元保险费,而在死亡的时候家属可以领取由保险公司支付的2000元,问保险公司盈利的概率是多少,公司获得的利益不少于10000元的概率又是多少?
这样的问题咋一看很难知道保险公司是否会盈利,但经过概率统计的知识一计算就可以得知公司是几乎必定盈利的.

由此得知P=0.999931,而盈利10000元以上的概率也有0.98305,亏本率极低,其“收益非浅”.以上的结果也说明了为什么保险公司那样乐于开展保险业务的原因.
(三)有关彩票问题
搏彩活动由来已久,人们对此的兴趣似乎有增无减.有奖销售,福利彩票,已经成为今日街头的一大景观.自1987年我国对彩票开禁以来,每年都有数十亿元人民币的彩票发行,买彩票似乎成了人们生活中的一部分.买彩票是一种经济投资吗?买彩票能发大财吗?这都是人们迫切想知道的问题.现在用概率知识对彩票中奖问题进行科学的分析,帮助人们树立正确的“彩票观”.
例2  下表为2005年江苏省第25体育彩票中奖的情况,计算出每个奖项中奖概率.
 
奖项 中奖号码 中奖人次 每人获奖金额(元)
特等奖 334859(特别号3) 3 644557
一等奖 334859 8 96683
二等奖 33485x,x34859 65 17849
三等奖 3348xx,x3485x,xx4859 1501 300
四等奖 334xxx,x348xx
xx485x,xxx859
22133 20
五等奖 33xxxx,x34xxx,xx48xx
xxx85x,xxxx59
244957 5
  购买江苏体彩时,需选一个六位数作为彩票号,第一位可以为0,数字可以重复,选定六位数的号码后,还要在0,1,2,3,4这五个数中选一个“特别号”,以兑特等奖用.
  :中特等奖概率,:中等奖概率( =).因为六位数共有个,特别号有5种选择,所以,即特等奖的中奖率为五百万分之一.





说明  由上面的计算可知,显然特等奖的中奖率仅为五百万分之一,一等奖为五百万分之四,所有奖中奖率约为0.46,而四五等奖中奖率为0.457,可见体育彩票中高额奖金率极低.想在一夜之间成为巨富是极为困难的.故买彩票要有一颗平常心,买彩票的主要目的是献爱心.
例3  据钱江晚报报道,彩票市场越来越火爆,据了解,南京某一期电脑福利彩票有一位懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖,从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望,概率统计方面的书籍也随之走俏.许多平时见到数学符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地研究起来.
实际上,概率统计学主要有两个方面的应用:一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值,然后选择最大概率值的数字进行选号.举一个简单的例子,类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为:29:6724491(1:230000)左右,由于出现的概率值极低,所以一般不选择这种连续号码.
另一方面的应用是统计,就是把以前所有中奖号码进行统计,根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码,例如五区间选号法,就是根据统计进行选号的.南京的“专业”彩民介绍一条选号规则———逆向选号法.从摇奖机的构造角度来说,它要保证每个数字中奖的概率都一样.虽然摇一次奖无法保证,摇100次奖也无法保证,但摇奖的次数越多,各个数字中奖的次数也必定越趋于平均.就好像扔硬币,一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样,但随着扔的次数的增加,正反面出现的次数就会越来越接近.从这个角度来考虑,在选号时就应该尽量选前几次没中过奖的数字.这就是逆向选号法,即选上一次或前几次没中奖的数字.
 
二、经商问题
 
(一)报摊商的策略
一个报摊商每天早晨从报社购进报纸零售,晚上将没卖掉的报纸退回.每份报纸的进 价为0.75元,零售价为1元,退回价为0.6元.报商售出一份报纸赚0.25元,退回一份报纸赔0.15元.报商每天如果购进的报纸太少,不够卖时会少赚钱,如果购得太多卖不完时又会赔钱.若每天报纸需求量是100份的概率是15%,200份的概率是40%,300份的概率是30%,400份的概率是15%.那报商该如何确定每天应该购进的报纸数,才能使收益最大?
分析  报商应该根据需求量确定购进量,而需求量是随机的,所以可假设报商已经通过自己每天的卖报经验或其他途径掌握了需求量的分布规律,设每天的购进量为份,(需求量的变化,报摊商每天收入的变化,我们不可能确定出其每天的收入,只能求出每天其平均收入).
  设每天需求量为,报商收入,则

这说明人们对报纸的需求量大约在245份附近波动,在这样的情况下可以确定每天购进报纸200份、300份或400份.
1)当购进报纸200份时,需求量为100份的收入为,需求量为200份的收入为,需求量为300份的收入为,需求量为400份的收入为
所以,平均收入
2)当购进报纸300份时,需求量为100份的收入为,需求量为200份的收入为,需求量为300份的收入为,需求量为400份的收入为
所以,平均收入
3)当购进报纸400份时,需求量为100份的收入为,需求量为200份的收入为,需求量为300份的收入为,需求量为400份的收入为
所以,平均收入
综合1),2),3)可得,报商每天购进300份报纸才能使平均收入最高.
(二)小商贩的策略
某顾客在集贸市场上打算买一筐苹果,卖方说,一筐(假设个)中顶多有四、五个坏苹果.当顾客打开一筐后看到第一层的10个苹果里有3个坏的,你说这位顾客应不应该买这筐苹果?
  假设如卖方所说,一筐100个苹果中最多有5个坏的,设用y表示坏苹果的数目,则应用古典概率可求得



再由概率加法原理可得

  这说明一次抽查10个苹果,其中坏苹果数目多于2个的概率很小,而现在发生了,所以依据“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的小概率事件原理,该顾客不应该买这筐苹果.同时,本例也反映了“先尝后买”的数学道理,即抽样调查的方法.先尝后买比不尝就买的风险要小,但风险依然存在.
(三)商业活动中的随机现象
在一项商业活动中,某人获利300元的概率为0.5,亏损100元的概率为0.4,不盈不亏的概率为0.1,假定该人多次从事这类经营,那么平均说来,他每次可以获利多少元?
  把他的经营盈亏值看作是一个离散型随机变量,由题意可知的分布列(如下表所示)
300 0 -100
0.5 0.1 0.4
依题意随机变量的期望:

也就是说,只要这人多次从事这类经营,平均说来,他每次可获利110元.当然,这并不意味着他每次都能赚110元,第一次甚至前几次亏损都是可能的.所以,学会坚持,最终是会成功的.
 
三、预测问题
 
(一)男女出生比例预测问题 
一般人也许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比应当是1:1,可事实并非如此.
  公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794-1827)在他的新作《概率的哲学探讨》一书中,记载了一个有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,也就是说在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745-1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异,拉普拉斯感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.所以,他深入地进行调查研究,终于发现:当时巴黎人“重女轻男”,有抛弃男婴的恶俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.
(二)天气预报问题
概率天气预报是用概率值表示预报量出现可能性的大小,它所提供的不是某种天气现象的"有"或"无",某种气象要素值的"大"或"小",而是天气现象出现的可能性到底有多大.如对降水的预报,传统的天气预报一般预报有雨或无雨,但概率预报则是给出可能出现降水的百分数,百分数越大,出现降水的可能性就越大.一般来讲,概率值小于或等于30%,可认为基本不会降水;概率值在30%-60%,降水可能发生,但可能性较小;概率在60%-70%,降水可能性很大;概率值大于70%,有降水发生.概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面,又反映了天气变化的不确定性和不确定程度.在许多情况下,这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要.
 
四、概率计算的作用
 
(一)抽签的公平所在
有些问题可能你想的并非是正确的,甚至与事实相差很多,这时我们可以用概率的知识来计算验证.如:
10个题签中有4个是难题,甲乙丙三位同学,按甲先乙次丙最后的顺序进行抽签考试,这种考试是否公平?
解  所谓考试是否公平实际上是问三位同学抽到难题的可能性是否相同,设=“甲抽到难签”, =“乙抽到难签” , =“丙抽到难签”,则有



 

 由结果可以看出尽管3位同学抽签的先后顺序不同,但他们抽到难签的可能性相同,因此考试对每个人都是公平合理的.但有些人还没有认识到这一点.某体育场在举办观众抽签活动时,由于所说的一等奖有很大的诱惑,刚开始抽奖时个个争先恐后,唯恐晚一会一等奖让其他人拿走,结果是直到最后一天才有人拿走.这也告诉我们在生活中要以平常心对待有些问题,不能过于偏激.
(二)有志者事竟成
日常生活中我们经常用“有志者事竟成”来鞭笞自己,现在从概率论角度思考,会更觉此语之妙如:
在一次实验中,事件发生的概率为,独立重复该实验次,求事件至少发生一次的概率
解  =“次实验中,事件至少发生一次”,因,有,可见当
此例说明,一件微不足道的小事,如果坚持做下去,必然会产生一个令人吃惊的后果正如古人所云:勿以恶小而为之,勿以善小而不为无数事实也证明了这一点
 
五、遗传问题
 
人的某一特征(如眼睛的大小,眼皮的单双)是由一对基因决定的,用表示显性基因,用表示隐性基因,具有基因的人为纯显性,具有基因的人为纯隐性,具有基因的人为混合性,纯显性和混合性的人都显露出显性基因决定的特征,孩子从父母身上各得到一个基因,假定父母都是混合性的,那么
1.一个孩子具有显性基因决定的这一特征的概率是多少?
2.两个孩子中至少有一个具有显性基因决定的这一特征的概率是多少?
  一个孩子具有基因对的概率分别为 、 、,而孩子具有基因对时才显示出该特征,所以
1.一个孩子具有显性基因决定的这一特征的概率为 .
2.因为两个孩子的基因对都是纯隐性的概率为,所以两个孩子中至少有一个具有显性基因决定的概率为
 
六、生病机率问题
 
用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,试验反应有阴性和阳性这两种结果.当被诊断者确实是患肝癌时,其试验反应为阳性的概率为0.95;当被诊断者未患肝癌时,其试验反应为阴性的概率为0.9.根据记录,某地人群中肝癌的患病率为0.004.现有一人的试验反应为阳性,求此人确实患肝癌的概率?
  设={被诊断者确实患肝癌},={被诊断者的试验反应为阳性},
依题意有,
根据贝叶斯公式,所求概率为

  从所求结果来看,用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,当某人的试验反应为阳性时,此人确实患肝癌的概率并不大,因此,人们在生活中遇到这种情况时决不能恐慌、绝望,要以一种积极的心态对待疾病,当然,人群中肝癌的患病率低是产生这一结果的主要原因.
 
其实我们身边的随机现象有很多,它们蕴涵着许多神奇规律,只要我们善于观察、善于把握,善于用概率的知识解决这类问题,我们的生活一定会越来越好.
 
 
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