离心率的五种求法

时间:2015-12-22 16:28来源:未知 作者:顾长清 点击:
离心率的五种求法
椭圆的离心率 ,双曲线的离心率 ,抛物线的离心率
一、直接求出 ,求解
已知圆锥曲线的标准方程或 易求时,可利用率心率公式 来解决。
1已知双曲线 )的一条准线与抛物线 的准线重合,则该双曲线的离心率为(    )
A.              B.             C.               D.
解:抛物线 的准线是 ,即双曲线的右准线 ,则 ,解得 ,故选D
 
变式练习1若椭圆经过原点,且焦点为 ,则其离心率为(    )
A.                 B.                   C.                 D.
解:,∴ ,又∵椭圆过原点,∴ ,∴ ,所以离心率 .故选C.
变式练习2如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为(    )
A.           B.            C.            D
解:由题设 ,则 ,因此选C
变式练习3点P(-3,1)在椭圆 )的左准线上,过点 且方向为 的光线,经直线 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(   )
A            B              C           D
解:由题意知,入射光线为 ,关于 的反射光线(对称关系)为 ,则 解得 ,则 ,故选A
二、构造 的齐次式,解出
根据题设条件,借助 之间的关系,构造 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于 的一元方程,从而解得离心率
2已知 是双曲线 )的两焦点,以线段 为边作正三角形 ,若边 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是(    )
A.   B.   C.   D.
解:如图,设 的中点为 ,则 的横坐标为 ,由焦半径公式
,得 ,解得
舍去),故选D
变式练习1设双曲线 )的半焦距为 ,直线 两点.已知原点到直线的距离为 ,则双曲线的离心率为(     )
A.                B.                  C.                   D.  
解:由已知,直线 的方程为 ,由点到直线的距离公式,得
, ∴ ,两边平方,得 ,整理得
,又  ,∴ ,∴ ,∴ ,故选A
变式练习2双曲线虚轴的一个端点为 ,两个焦点为 ,则双曲线的离心率为(    )

 
            B           C            D
解:如图所示,不妨设 ,则
,又
中, 由余弦定理,得 ,
,∴
,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
3设椭圆的两个焦点分别为 ,过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ,若 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。

 
解:
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
4设椭圆 )的右焦点为 ,右准线为 ,若过 且垂直于 轴的弦的长等于点 的距离,则椭圆的离心率是                     .
:如图所示, 是过 且垂直于 轴的弦,∵ ,∴ 到准线 的距离,根据椭圆的第二定义,  
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 ,焦点到相应准线的距离为 ,则该椭圆的离心率为(   )
A            B            C             D
解:
五、构建关于 的不等式,求 的取值范围
5,则二次曲线 的离心率的取值范围为(    )
A.             B.           C.           D.
另:,得 ,
,∴
,∴ ,∴ ,∴ ,故选D
 
 

 
6如图,已知梯形 中, ,点 分有向线段 所成的比为 ,双曲线过 三点,且以 为焦点.当 时,求双曲线离心率 的取值范围。
解:的垂直平分线为 轴,直线 轴,建立如图所示的直角坐标系 ,则 轴.因为双曲线经过点 ,且以 为焦点,由双曲线的对称性知 关于 轴对称.依题意,记 ,其中 为双曲线的半焦距, 是梯形的高.
由定比分点坐标公式得 ,设双曲线的方程为 ,则离心率 ,由点 在双曲线上,所以,将点 的坐标代入双曲线方程得
将点 的坐标代入双曲线方程得
再将 ①、②得 ,∴

将③式代入④式,整理得 ,∴ ,由题设 得:
,解得 ,所以双曲线的离心率的取值范围为
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
配套练习
1. 设双曲线 )的离心率为 ,且它的一条准线与抛物线 的准线重合,则此双曲线的方程为(   )
A.           B.           C.         D.
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于(    )
A.               B.                 C.                   D.
3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则双曲线的离心率为(   )
A              B             C              D
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 ,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A            B            C              D
5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 ,焦点到相应准线的距离为 ,则该双曲线的离心率为(    )
A            B              C             D
6.如图, 分别是双曲线 )的两个焦点, 是以 为圆心,以  为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心率为(    )
A                B           C                 D
 
7. 设 分别是椭圆 )的左、右焦点, 是其右准线上纵坐标为 为半焦距)的点,且 ,则椭圆的离心率是(   )
A            B             C          D
8.设 分别是双曲线 的左、右焦点,若双曲线上存在点 ,使 ,且 ,则双曲线离心率为(   )
A                     B                    C                    D
9.已知双曲线 )的右焦点为 ,若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(   )
A          B            C             D
10.椭圆 )的焦点为 ,两条准线与 轴的交点分别为 ,若 ,则该椭圆离心率的取值范围是(  )
A.            B.           C.          D.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
答案:1.由 可得 故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴ ,椭圆的离心率 ,选D。
3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得 ,故选A
4.不妨设椭圆方程为 a>b>0),则有 ,据此求出e=
5.不妨设双曲线方程为 a>0,b>0),则有 ,据此解得e= ,选C
6.解析:如图, 分别是双曲线 的两个焦点, 是以 为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ 是等边三角形,连接AF1,∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|= c,∴ ,双曲线的离心率为 ,选D。
7.由已知P( ),所以 化简得
8.设F1,F2分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中 ,∴ 离心率 ,选B。
9.双曲线 的右焦点为F,若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ,∴ ,离心率e2= ,∴ e≥2,选C
10.椭圆 的焦点为 ,两条准线与 轴的交点分别为 ,若 ,则 ,该椭圆离心率e≥ ,选D